导数习题分类精选 2(13)

（2009江西卷文）设函数值；（2）若方程

f(x) x3

92

x 6x a．（1）对于任意实数x，f (x) m恒成立，求m的最大2

f(x) 0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析 (1)

f'(x) 3x2 9x 6 3(x 1)(x 2), 因为x ( , ),f'(x) m, 即 3x2 9x (6 m) 0

81 12(6 m) 0, 得m

33，即m的最大值为 44

恒成立, 所以 (2) 因为 当x 所以 当x

1时, f'(x) 0;当1 x 2时, f'(x) 0;当x 2时, f'(x) 0;

5

a; 当x 2时,f(x)取极小值 f(2) 2 a; 2

5

故当f(2) 0 或f(1) 0时, 方程f(x) 0仅有一个实根. 解得 a 2或a .

2

1322

时，.（2009天津卷文）设函数f(x) x x (m 1)x,(x R,)其中m 0（Ⅰ）当m 1曲

3

1时,f(x)取极大值 f(1)

线

处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，y f(x)在点（1，f（1））

x1,x2，且x1 x2。若对任意的x [x1,x2]，f(x) f(1)恒成立，求m的取值范围。

解析 当m斜率为1 （2）解析

1时，f(x)

13

x x2,f/(x) x2 2x,故f'(1) 1所以曲线y f(x)在点（处的切线1，f（1））3

f'(x) x2 2x m2 1，令f'(x) 0，得到x 1 m,x 1 m

当x变化时，

因为m 0,所以1 m 1 m

f(x),f'(x)的变化情况如下表：

(1 m,1 m)

-

x f'(x)

f(x)

( ,1 m)

+

1 m

0 极小值

1 m

0 极大值

(1 m, )

+

f(x)在( ,1 m)和(1 m, )内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。

21

f(x)在x 1 m处取得极大值f(1 m)，且f(1 m)=m3 m2

332312

函数f(x)在x 1 m处取得极小值f(1 m)，且f(1 m)= m m

33

1212

（3）解析 由题设， f(x) x( x x m 1) x(x x1)(x x2)

33

12422

所以方程 x x m 1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1 x2 3，且 1 (m 1) 0

3311m (舍)，m

22

函数，解得