导数习题分类精选 2(11)

即x

2

x3 ln(x 1)恒成立.取x

1111 (0, )，则有ln( 1) 2 3nnnn

恒成立.

显然，存在最小的正整数N=1， 使得当n

111

N时，不等式ln( 1) 2 3

nnn

恒成立. ……………15分

（天津文 21）

设函数

，其中a R． f(x) x(x a)2（x R）

（Ⅰ）当a（Ⅱ）当a（Ⅲ）当a

1时，求曲线y f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

0时，求函数f(x)的极大值和极小值；

3时，证明存在k 10， ，使得不等式f(k cosx)≥f(k2 cos2x)对任意的x R恒成立．

本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当a

1时，f(x) x(x 1)2 x3 2x2 x，得f(2) 2，且

f (x) 3x2 4x 1，f (2) 5．

所以，曲线

2)处的切线方程是y 2 5(x 2)，整理得 y x(x 1)2在点(2，

5x y 8 0．

（Ⅱ）解：

f(x) x(x a)2 x3 2ax2 a2x

f (x) 3x2 4ax a2 (3x a)(x a)．

令

f (x) 0，解得x

a

或x a． 3

由于a 0，以下分两种情况讨论．

0，当x变化时，f (x)的正负如下表：

（1）若a

因此，函数

f(x)在x

a

处取得极小值3

a

f ，且 3