导数习题分类精选 2(3)

22xf() ∴ sinx 2

（3）令

f(x) tanx 2x sinx f(0) 0

2f (x) sec2

x 2 cosx (1 cosx)(cosx sinx)cos2x

x (0,

2

) f (x) 0 ∴ (0,

2

)

∴ tanx x x sinx

（理做）设a≥0，f (x)=x－1－ln2

x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2

x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有f (x) 1 2lnx 2a，x 0，

xx

故F(x) xf (x) x 2lnx 2a，x 0，于是F (x) 1 2 x 2，x 0，

xx

列表如下：

故知F(x)在(0，

2)内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值F(2) 2 2ln2 2a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2) 2 2ln2 2a 0．

于是由上表知，对一切x (0

， ∞)，恒有F(x) xf (x) 0． 从而当x 0时，恒有f (x) 0，故f(x)在(0， ∞)内单调增加．

所以当x 1时，f(x) f(1) 0，即x 1 ln2x 2alnx 0．(利用单调性证明不等式）

故当x 1时，恒有x ln2x 2alnx 1．

（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(

a b

2

)<(b-a)ln2.

（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数（I）求a的取值范围，并讨论

f x x2 aIn 1 x 有两个极值点x1、x2，且x1 x2

1 2In2

4

（II）证明：f x2 f x 的单调性；

解: （I）

a2x2 2x a

f x 2x (x 1)

1 x1 x

2

令g(x) 2x 2x a，其对称轴为x

1

。由题意知x1、x2是方程g(x) 0的两个均大于 1的不相等的实根，其2

4 8a 01

充要条件为 ，得0 a

2 g( 1) a 0

⑴当x ( 1,x1)时，⑵当x (x1,x2)时，⑶当x (x2,

f x 0, f(x)在( 1,x1)内为增函数； f x 0, f(x)在(x1,x2)内为减函数；

)时，f x 0, f(x)在(x2, )内为增函数；

1

a 0, x2 0，a (2x22+2x2)

2

（II）由（I）g(0)

f x2 x22 aln 1 x2 x22 (2x22+2x2)ln 1 x2

设h

x x2 (2x2 2x)ln 1 x (x

1)， 2

则h

x 2x 2(2x 1)ln 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x

11

,0)时，h x 0, h(x)在[ ,0)单调递增； 22

⑴当x (

⑵当x (0, )时，h x 0，h(x)在(0, )单调递减。