导数习题分类精选 2(7)

① 当 a

2

8

0，即a

方程g(x)

0有两个不同的实根x1

,x2 ,0 x1 x2.

x

f (x) f(x)

(0,x1)

+ 单调递增

x1

0 极大

(x1,x2)

_ 单调递减

x2

0 极小

(x2, )

+ 单调递增

此时

aa f(x

)在上单调递增,

在( )上单是上单调递减,

在22

调递增. 3.设函数

f(x) ax2 bx k(k 0)在x 0

处取得极值，且曲线

y f(x)

在点

(1,f(1))处的切线垂直于直线

ex

x 2y 1 0．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x) ，讨论g(x)的单调性．

f(x)

（3）

2

方程x 2x k 0有两个不相等实根

4 4k 0,即当0<k<1时，

x1 1x2 1

函数

当

当

x ( ,1是g (x) 0,故g(x)在（ ,1上为增

g (x)

0故,上为减函数

g(x)在（1x （1,k 时

，

时，g (x)

0,故g(x)在（上为增函数 x （1+ ）1+ ）(2009山东卷文)已知函数已知a

1

f(x) ax3 bx2 x 3,其中a 0（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?（2）

3

0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围

.

所以当a

f'(x) a(x x1)(x x2)

0时,

x

(-∞,x1) ＋

x 1 0

(x1,x2) －

x2 0

(x2,+∞) ＋

f’(x)

f (x) 所以当a

增函数

1

极大值 减函数 极小值 增函数

f(x)在x

, x2处分别取得极大值和极小值.

0时,

x f’(x) f (x)

(-∞,x2) － 减函数

x 2 0 极小值

(x2,x1) ＋ 增函数

2

x1 0 极大值

(x1,+∞) － 减函数

所以

f(x)在x

1

, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当a,b满足b a时, f(x)取得极值.

(2)要使即b

f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x) ax2 2bx 1 0在(0,1]上恒成立.

ax1ax1

,x (0,1]恒成立, 所以b ( )max 22x22x

12

a(x )ax1a1 设g(x) ,g'(x) , 22

22x22x2x

令g'(x)

0得x

x 舍去), 当a 1时,0

1ax1 1,

当x 时g'(x) 0,g(x) 单调增函数;

a22x当x ax1时g'(x) 0,g(x) 单调减函数,

22x所以当x

,g(x)取得最大,

最大值为g

所以b ax1 1,此时g'(x) 0在区间(0,1]恒成立,所以g(x) 在区间(0,1]上单调递增,当x 1

22x

a 1a 1

,所以b 22

a 1

2

当0 a 1时

时g(x)最大,最大值为g(1)综上,当a

1时

, b 当0 a 1时, b

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. （2009浙江文）已知函数 （I）若函数

f(x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R)．

f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间( 1,1)上不单调，．．．

求a的取值范围．