导数习题分类精选 2(9)

1

令f' x 0,解得x ,

e

1

f x 的单调递减区间是 , .……4分

e

1

，t无解；……5分 e

1111

(ⅱ)0<t<<t+2，即0<t<时，f(x)min f() ；……7分

eeee11

(ⅲ) t t 2，即t 时，f(x)在[t,t 2]单调递增，

ee

(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<

f(x)min f(t) tlnt……9分

1 10 t

-e……10分 f(x)min e，

1

t tlnt e

(Ⅲ)由题意:2xlnx即2xlnx可得a

3x2 2ax 1 2在x 0, 上恒成立

3x2 2ax 1

31

x ……11分（分离常数） 22x3x1 设h x lnx , 22x

x 1 3x 1 ……12分 131'

2 则h x

x22x2x2

1'

令h x 0,得x 1,x (舍)

3

lnx

当0

x 1时,h' x 0;当x 1时, h' x 0

当x 1时,h x 取得最大值, h x max=-2……13分 a 2.

a

(a 0),设F(x) f(x) g(x)．（Ⅰ）求函数F(x)的单调区间；x

1

（Ⅱ）若以函数y F(x)(x (0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k 恒成立，求实数a的最小值；2

已知函数

f(x) lnx,g(x)

解析：（I）

F x f x g x lnx

a

x 0 x

，

F' x

1ax a 2 x 0 xx2x

∵

a 0

，由

，∴F' x, F x 在 a, 上单调递增。 由F' x 0 x 0,a ，∴F x 在 0,a 上单调 0 x a递减。∴F

x 的单调递减区间为 0,a ，单调递增区间为 a, 。

（II）F'离常数） 当x0

x

x ax0 a1 12

0 x 3，恒成立a x xk F'x 0 x 3 0000 2

x2x02 2 max

（分

11211

x0取得最大值。∴a ，∴amin 1时， x0

2222

的值；（Ⅱ）若对于任意的x [0，3]，都有

设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x

1及x 2时取得极值．（Ⅰ）求a、b

f(x) c2成立，求c的取值范围．

则当

x 0，3 时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c．因为对于任意的x 0，3 ，有f(x) c2恒成立，所以 9 8c c2，解

得

c 1或c 9，因此c的取值范围为( ， 1) (9， )．18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。设函数

，0],x2 [1,2].f x x3 3bx2 3cx在两个极值点x1、x2，且x1 [ 1

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点

b,c 的区域；(II)证明： 10 f x2 2

考生根

1

分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分有思路并能够得分。

f x 3x2 6bx 3c由题意知方程f x 0有两个

x2 [1,2].

故有

则

有

x1、x2且x1 [ 10],，

f 1 0，f 0 0，f 1 ，f 0

20

右图中阴影部分即是满足这些条件的点

b,c 的区

域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用

消元的手段，消去目标

（如果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I

）中的约束f x2 x23 3bx22 3cx2中的b，