导数习题分类精选 2(2)

(1) 若点P的坐标为(a,

f(a)), 求证：a f(a)f'(a) 0;

(2) 若函数

y f(x)的图象不通过坐标原点O, 证明直线OP与函数y f(x)的图象上点P处切线垂直.

证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2

= x2

+ f 2

( x )， 设F(x) = x2

+ f 2

( x ), 则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )

已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，

∴|OP|2

为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值

∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0 (2) 线段OP的斜率为

f(a)

a

，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a) 由(1)知f (a)f '(a) = – a，

∴图象不过原点，∴a 0，∴

f(a)

a

f '(a) = –1 ∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

利用导数证明不等式

例6．求证下列不等式

）x x2x2

（12 ln(1 x) x

2(1 x)

x (0, )（相减） （2）sin

x

2x

x (0,

2

)（相除）

（3）x sinx tanx x x (0,

2

)

22证：（1）

f(x) ln(1 x) (x x2) f(0) 0 f (x) 1x 11 x 1 x x 1

0

∴

y f(x)为(0, )上 ∴ x (0, ) f(x) 0 恒成立

∴ ln(

x) x x2

1g(x) x x2

2 2(1 x)

ln(1 x) g(0) 0

4x2 4x 2x212x2

g (x) 1 4(1 x)2

1 x 4(1 x2) 0

∴ g(x)在(0, )上 ∴ x (0, ) x x2

2(1 x)

ln(1 x) 0恒成立

（2）原式

sinxx 2 令 f(x) sinx/x x (0,

2

) cosx 0 x tanx 0 ∴

f (x) cosx(x tanx)x2 ∴ x (0, 2) f (x) 0 (0,

2

)