导数习题分类精选 2(14)

因为x1若x1若1 则

x2,所以2x2 x1 x2 3,故x2

3 1 2

1

1 x2,则f(1) (1 x1)(1 x2) 0，而f(x1) 0，不合题意

3

x1 x2,则对任意的x [x1,x2]有x x1 0,x x2 0,

0，于是对任意的

1

f(x) x(x x1)(x x2) 0又f(x1) 0，所以函数f(x)在x [x1,x2]的最小值为

3

x [x1,x2]，f(x) f(1)恒成立的充要条件是f(1) m2

1,) 23

13 0,解得 m 333

综上，m的取值范围是(

2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）已知函数

f(x) x3 3ax2 9a2x a3.设a 1，求函数f x 的极值；(2)若

a

1'

，且当x 1,4a 时，f(x) 12a恒成立，试确定a的取值范围. 4

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （21）解析（Ⅰ）当a=1时，对函数

f(x)求导数，得f'(x) 3x2 6x 9.

令

f'(x) 0,解得x1 1,x2 3.列表讨论f(x),f'(x)的变化情况：

( , 1)

+

x

f'(x)

1

0 极大值6

（-1，3）

—

3 0 极小值-26

(3, )

+

f(x)

所以，

f(x)的极大值是f( 1) 6，极小值是f(3) 26.

（Ⅱ）若

f'(x) 3x2 6ax 9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.

1

a 1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数，从而 4

f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1) 3 6a 9a2,最大值是f'(4a) 15a2.

由|

f'(x)| 12a,得 12a 3x2 6ax 9a2 12a,于是有

f'(1) 3 6a 9a2 12a,且f'(4a) 15a2 12a.

由

14

f'(1) 12a得 a 1,由f'(4a) 12a得0 a .

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