导数习题分类精选 2(8)

解析 （Ⅰ）由题意得

f (x) 3x2 2(1 a)x a(a 2)

又

f(0) b 0

，解得b 0，a 3或a 1

f (0) a(a 2) 3

f(x)在区间( 1,1)不单调，等价于

（Ⅱ）函数 导函数 即函数

f (x)在( 1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 f (x)在( 1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f ( 1)f (1) 0， 即：[3 2(1 a) a(a 2)][3 2(1 a) a(a 2)] 0

2

整理得：(a 5)(a 1)(a 1) 分离常数

0，解得 5 a 1

已知函数f(x) xlnx.（Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若对所有x 1都有f(x) ax 1，求实数a的取值范围.解：

f(x)的定义域为(0，+ )， f(x)的导数f (x) 1 lnx. 令f (x) 0，解得x

11 1 1

.从而f(x)在 0 单调递减，在 ，+ 单调递增.所以，当x 时，ee e e

（Ⅱ）解法一：令g(x) f(x) (ax 1)，则g (x) f (x) a 1 a lnx， 错误！未找到引用源。 若a 1，当x 1时，g (x) 1 a lnx 1 a 0，，+ )上为增函数，所以，x 1时，g(x) g(1) 1 a 0，即f(x) ax 1.故g(x)在(1

a 1

错误！未找到引用源。 若a 1，方程g (x) 0的根为 x0 e，此时，若x (1，x0)，则g (x) 0，故g(x)在该区0 x

间为减函数.所以x (1，x0)时，g(x)

1

；令f (x) 0，解得e

1

f(x)取得最小值 . e

g(1) 1 a 0，即f(x) ax 1，与题设f(x) ax 1相矛盾. 综上，满足

lnx

1x

1]. 条件的a的取值范围是( ，

， )上恒成立，即不等式a解法二：依题意，得f(x) ax 1在[1

， )恒成立 . 令对于x [1

11 1 111 1

， 则g (x) 2 1 . 当x 1时，因为g (x) 1 0， xx x xxx x ， )上的增函数， 所以 g(x)的最小值是g(1) 1，所以a的取值范围是( ，1]. 故g(x)是(1g(x) lnx

[广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题]（本小题满分14分） 已知

f x xlnx,g x x3 ax2 x 2

f x 的单调区间;

f x 在 t,t 2 t 0 上的最小值;

(Ⅰ)求函数(Ⅱ)求函数

(Ⅲ)对一切的x (Ⅰ)

0, ,2f x g' x 2恒成立,求实数a的取值范围.

1f'(x) lnx 1,令f' x 0,解得0 x ,

e

1

f x 的单调递减区间是 0, ;……2分

e