导数习题分类精选 2(4)

当x ( 12,0)时,h x h( 11 2ln2

2) 4

故f xh(x1 2In2

2 2) 4

．

已知函数f(x) x，g(x) ln(

1 x)，h(x) x1 x

. （1）证明：当x 0时，恒有f(x) g(x);

（2）当x

0时，不等式g(x)

kx

k x

(k 0)恒成立，求实数k的取值范围; 解：（1）设F(x) f(x) g(x)，则F'

(x)=1 11 x x1 x

， 当x 0时，F'(x) 0，所以函数F(x)在（0， )单调递增，又F(x) 在x 0处连续，所以F(x) F(0) 0，即f(x) g(x) 0，

所以

f(x) g(x)。

（2）设G(x)

g(x)

kx

k x

， 则G(x)在（0， )恒大于0，G(x) ln( k k2

1 x)k x

，

'(x) 11 x k2(k x)2 x2 (2k k2 G)x

(1 x)(k x)2

， x2 (2k k2)x 0的根为0和k2 2k,

即在区间（0， )上，G'(x) 0的根为0和k2 2k,

若k

2

2k 0，则G(x)在(0,k2 2k)单调递减， 且G(0) 0，与G(x)在（0， ) 恒大于0矛盾；

若k2

2k 0，G(x)在（0， )单调递增，

且G(0) 0，满足题设条件，所以k2 2k 0，所以0 k 2.。

（1）已知：x (0 )，求证

1x 1 lnx 11

x x

； （2）已知：n N且n 2，求证：12 1111

3 n lnn 1 2 n 1

。（1）令1 1x t，由x>0，∴t>1，x 1

t 1