信号与线性系统分析部分习题解答(3)

1.23 设系统的初始状态为1.23 设系统的初始状态为x(0)，激励为f(g)各系统的全响应y(g)与激励 与激励 初始状态的关初始状态的关系如下，系如下，试分析各系统是否是线性试分析各系统是否是线性的是否是线性的。 （1）y(t)=ex(0)+性系统。

t

∫sinxf(x)dx 满足分解性、零输入线性、零状态线性，所以是线

t0

t

yzi(t)=e tx(0) yzs(t)=∫sinxf(x)dx y(t)=yzi(t)+yzs(t) 满足分解性

（2）y(t)=f(t)x(0)+（3）y(t)=sin[x(0)t]+

∫

t

0t

f(x)dx 不满足分解性，所以不是线性系统。

f(x)dx 满足分解性，不满足零输入线性，所以不是线性系统。

∫

不满足零状态线性，所以不是线性系统。 （4）y(k)=0.5kx(0)+f(k)f(k 2)满足分解性，（5）y(k)=kx(0)+

∑

j=0

k

f(j) 满足分解性、零输入线性、零状态线性，所以是线性系统。

注：要求熟练掌握，要求熟练掌握，做到做最终看过即可知道结果。做到做最终看过即可知道结果。 1.24 判断线性或非线性系统1.24 判断线性或非线性系统，判断线性或非线性系统，时变或时不变系统。时变或时不变系统。

（1）y′(t)+2y(t)=f′(t) 2f(t) 常系数线性微分方程，线性时不变系统。

（2）y′(t)+(sint)y(t)=f(t) 线性系统，但微分方程的系数sint是时变的，所以是时变系统。 说明：说明：

线性系统判断如下： 设 y1(t)=T[f1(t)] y2(t)=T[f2(t)] 可得

y1′(t)+(sint)y1(t)=f1(t) y2′(t)+(sint)y2(t)=f2(t) 两式相加 [y1(t)+y2(t)]′+sint[y1(t)+y2(t)]=f1(t)+f2(t) 即

y1(t)+y2(t)=T[f1(t)+f2(t)] 说明系统满足可加性，当然系统也满足齐次性，所以该系

统是线性系统。

（3）y′(t)+[y(t)]2=f(t) 由于微分方程中包含[f(t)]2这样非线性项，所以是非线性系统，微分方程是常系数，所以是时不变系统。

（4）y(k)+(k 1)y(k 1)=f(k) 差分方程为变系数，所以是线性时变系统。 （5）y(k)+y(k 1)y(k 2)=f(k) 由于差分方程包含y(k 1)y(k 2)这样相乘的非线性项，所以是非线性系统，但方程是常系数差分方程，所以是时不变系统。 注：要求熟练掌握，要求熟练掌握，做到做最终看过即可知道结果。做到做最终看过即可知道结果。