第十一章 曲线、曲面积分(10)

[方法小结] 对于第二类曲线积分一般可考虑采用参数化法，求原函数法，利用积分与路径无关等方法求解。在采用求原函数法，改变路径积分等方法时，首先应验证被积函数和积分区域是否满足条件。在改变路径积分时，往往选用分段与坐标轴平行的折线为路径。

例13．计算曲线积分 ydx xdy,其中L是圆x2 y2 2x

L

(y 0)上原点O(0,0)

到A(2,0)的一段弧。

[分析] 以下用四种方法求解此第二类曲线积分，用不同的方法，其难易程度相差较大。

[解一] OA的参数方程为x 1 cos ,y sin ，L由O A, 则 由 0,

dx sin d ,dy cos d ,

L

ydx xdy

[ sin (1 cos )cos ]d

2

[ cos cos2 ]d

12

sin2 ]0 0.

[ sin

[解二] OA的极坐标方程为r 2cos ,因此参数方程为x rcos 2cos2 ,

y rsin 2sin cos ,L

由O A, 由

2

0,

2

2

dx 4sin cos d ,dy 2(cos sin

)d ,

2

2

L

ydx xdy

2

[ 8sin cos 4cos (cos sin ]d

222

4 2[3cos 4cos ]d

24

4[3

1 31

4 ] 0.22422

[解三] 因为P y,Q x,

P y

1

(2,0)

Q x

, 所以积分与路径无关。

L

ydx xdy

(0,0)

ydx xdy

OA

ydx xdy

2

0dx 0.