第十一章 曲线、曲面积分(5)

仅在L上取值。 [正确解] 利用对称性

L

y

3

3

4

dx

x

3

3

dy

(x

D

2

y)dxdy

2

3

4 d

rrdr

2

812

.

例7. 求曲线积分xdy，其中曲线L的方程x2 y2 1。

L

[错解] 由于积分曲线关于y轴对称，被积函数是x的奇函数，利用对称性，得

xdy

L

0.

[分析] 在定积分、重积分中，常利用积分区域的对称性配合被积函数的奇偶性法则来简化计算。由于第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义与定积分、重积分的定义形式不同（参见例2），因此不能直接照搬此性质。 [正确解]利用参数法，

xdy

L

2

cos dsin 4 2cos d .

2

例8. 求曲面积分 z2dxdy，其中 为曲面x2 y2 z2 r2的外侧。

[错解] z2dxdy 2

z

2

dxdy 0.

中的上半球面

[分析] 上面解法的错误在于对第二类曲面积分直接利用重积分的对称性求解，这是没有根据的。对第二类曲面积分，首先应将它化为重积分，才能考虑是否可用对称性简化计算。 [正确解一] 利用高斯公式

z

2

利用对称性

dxdy

2

2

(0 0 2z)dxdydz

2

2

0.

x y z r

[正确解二]以上积分也可用常规的方法，分片积分。

将 分为上半球面： 1:z r2 x2 y2,下半球面： 1:z r2 x2 y2, 于是

zdxdy

2

1

zdxdy

2

2

zdxdy

2