第十一章 曲线、曲面积分(13)

1a

2

d (

a

a

22

cos

2

2

(a a

2

)) d

2

2

a

2

cos d

a

2

a

a

2

3

2

a

2

d d

a

a

2

2

d a d

22

a

1

2

d

(a

2

) d

2

（在第一项中令 sint)

2

asin

33

tdt a

3

43

3

(a )2

43

22

a

2 a

(

12

a

22

14

)

4

a0

a(cost

12

3

13

cost)

3

20

a

3

a

3

12

3 a

a.

3

[分析三] 由题意，可将所求曲面积分分两项，分别用投影法化为两个坐标平面的某区域上的二重积分进行计算。 [解三] 原式= I1

a

1

1

(axdydz (z a))dxdy

2

，

2

a

(axdydz 2

Dyz

a

2

(y

z)dydz,

2

其中Dyz为yoz平面上的半圆：y2 z2 a2,z 0.利用极坐标计算，得

I1 2

2

d

a

a

2

d

2

23

a,

3

I2

1

1

a

Dxy

(z a))dxdy

2

2

2

2

a

1a

a

a0

a (x y)

2

dxdy

2

2

d (2a

2

2aa

2

2

) d

6

a,

3

其中Dxy为xoy平面上的圆域：y2 z2 a2.因

原式 I1 I2

2a.

3