第十一章 曲线、曲面积分(17)

并证明limIR 0.

R

[分析一]由于所求不等式的右边是曲线段的长度L和M的乘积，因此可利用第二类曲线积分的定义以及两向量的向量积，估计不等式

IR，一般可利用参数进行计算。

L

Pdx Qdy LM。对

[证一] 因为

Pdx Qdy

L

L

F dS,

F

P

2

这里F (P,Q),所以

dS (dx,dy),

Q

2

,

dS dS.

L

Pdx Qdy

L

[Pcos(t,x) Qcos(t,y)]dS

L

P,Q} {cos(t,x),cos(t,y)}

P

2

L

P,Q}dS

L

QdS M

2

L

dS ML.

设 P

y

(x

22

xy y)

22

,Q

x

(x

2

xy y)

2

22

.

于是P Q

2

2

x(x

2

2

y

22

2

xy y)

. 在曲线x

y

2

R

2

上，

P Q

2

R

R(1 cos sin )

4

2

4R

3

1R

3

(1

112sin2 )

2

.

因此

IR 2 R 于是limIR 0.

R

4R

3

8 R

2

,

[分析二] 在估计曲线积分值时，结合已知的不等式常常会带来方便，以下用此法估计IR. [证二] 因为

P

2

Q

2

x y

2

222

4

(x xy y)

R(R

2

2

4

xy)