第十一章 曲线、曲面积分(2)

二、典型错误分析

例1． [错误结论]设AB是分段光滑可求长的平面曲线段，函数z f(M)是定

义在AB上的有界函数，则

AB

f(x,y)ds

BA

f(x,y)ds.

[分析] 从第一类曲线积分的定义知，该积分是该弧段上点的函数值与小弧段长

的乘积的和式的极限，故这个极限与曲线段AB的方向无关，因此不能照搬定积分的有关性质。

[正确结论] 设AB是分段光滑可求长的平面曲线段，函数z f(M)是定义在AB上的有界函数，则

AB

f(x,y)ds f(x,y)ds.

BA

例2． [错误结论]重积分、曲线积分、曲面积分的定义都可统一到定积分的定义形式。

[分析] 从重积分、曲线积分、曲面积分的物理背景可知重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义可统一到定积分的定义形式：设 是可度量的几何形体，f(M)在 上有界，将 任意分成n个部分 i,i 1,2, ,n， i既表示第i个部分又表示其度，在 i上任取一点MI，若I lim f(MI) I存在，则

i 1

0n

称f(M)在 上可积，记为 f(M)d I.

对于第二类曲线积分、第二类曲面积分由其物理背景可知，其定义不能简单地统一到这种形式。

[正确结论] 重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义都可统一到定积分的定义形式。

例3．求圆周上x y r曲线段ABC的弧长，其中A (0,r), B (r,0),

C (

r2,3r2)

2

2

2

.

xr

2

2

2

[错解] ds

ACAC

x

dx