第十一章 曲线、曲面积分(3)

r

2

xr

2

2

2

x

dx rarcsin

xr

r2]0

r6

.

r2

[分析] 由于曲线从A到C时,x自0增加到r, 再由r减少到

xr

2

2

2

, 在以上计算中统

一将ds用1

ds

x

dx

表示不能保证ds 0.而第一类曲线积分中,由定义可知

应大于零,因此此题应分段进行计算.

[正确解]

r

AC

ds

AB

1

xr

2

2

2

x

dx

2

BC

xr

2

2

2

x

dx

xr

2

2

2

x

r

dx

rr2

1

xr

xr

2

x

2

dx

5 r6

rarcsin

xr

]0 rarcsin]r r

2

r

r

6

.

例4. 计算

dx dy

ABCDA

x y

, 其中ABCDA为以点A(1,0),B(0,1),C( 1,0),D(0, 1)为顶

点的正方形。

C3: x y 1，[错解] 正方形方程为x y 1, 即C1:x y 1, C2: x y 1，

C4:x y 1. 所以

dx dy

ABCDA

x y

dx dy dx dy

C3

C1

dx dy

C2C4

dx dy

1

(1 1)dx

1

1

(1 1)dx (1 1)dx (1 1)dx

1

01

2 dx 2 dx 4.

1

[分析] 本题是计算第二类曲线积分, 因此用参数化法化为定积分求解。但应注意的是此时定积分的下（上）限应对应始（终）点的参数值。在以上解法中被积表达式是正确的，但积分上下限有的颠倒了，导致了结果错误。

[正确解] 正方形方程为x y 1, 即C1:x y 1, C2: x y 1，

C3: x y 1，C4:x y 1.

所以