第十一章 曲线、曲面积分(19)

易知S的半径R

22cos

6

63

, 从而S (

63

)

2

2 3

, 因此

L

ydx zdy xdz

233

.

[方法小结] 在计算空间曲线积分时，将其方程参数化后进行求解是一种基本方法，但一般来说，计算比较麻烦。而用斯托克斯公式来计算往往较简捷，但应注意斯托克斯公式关于符号的规定。

四、考研试题分析

例21．(2003年高数一)

已知平面区域D {(x,y)0 x ,0 y },L为D的正向边界，试证

xe

L

siny

dy ye

sinx

dx

xe

L

siny

dy ye

sinx

dx.

[分析一] 等式的两边均为第二类曲线积分，可分别对两边直接积分，比较积分值，得结果。 [证一] 左边

e

siny

dy

e

sinx

dx

(esinx e sinx)dx,

右边

e

siny

dy

e

sinx

dx

(esinx e sinx)dx,

于是

xe

L

siny

dy ye

sinx

dx

xe

L

siny

dy ye

sinx

dx.

[分析二] 对于第二类曲线积分，常考虑用格林公式转化为二重积分求解，由于被积函数在全平面上都有连续的偏导数，故可利用格林公式进行求证。 [证二]由格林公式，

L

xexe

siny

dy ye

sinx

dx dx

D

(e(e

siny

e

sinx

)d ,)d ,

siny

L

siny

dy ye

sinx

D

siny

e

sinx

由于D关于y x对称，故 (esiny e sinx)d

D

(e

D

e

sinx

)d ,