第十一章 曲线、曲面积分(4)

dx dy

ABCDA

x y

dx dy dx dy

C3

C1

dx dy

C2C4

dx dy

1

(1 1)dx

1

1

1

(1 1)dy (1 1)dx (1 1)dy

1

01

2 dx 2 dy 0.

例5. [错误结论] 格林公式对单一型的积分P(x,y)dx不成立。

L

[分析] 以上结论是错误的。事实上，P(x,y)dx P(x,y)dx Q(x,y)dx,其中

L

L

L

Q(x,y) 0，因此只要P(x,y)在以L为边界正向的闭区域D上满足格林公式的

条件即可使用格林公式。

[正确结论] 当P(x,y)在以L为边界正向的闭区域D上满足格林公式条件时：

P(x,y)dx P(x,y)dx Q(x,y)dy

L

L

L

L

P(x,y)dx

0dy

L

L

D

(

P y

)dxdy.

类似地，对单一型的积分Q(x,y)dx，当Q(x,y)在以L为边界正向的闭区域D上满足格林公式的条件时，有Q(x,y)dY

L

D

Q y

.

例6. 求曲线积分

L

y

3

3

dx

3

x

3

3

dy

，其中曲线L的方程x2 y2 9.

x

3

[错解] 由于P(x,y) 件，于是

y

3

,Q(x,y)

3

在L所围的区域上满足格林公式的条

L

y

3

3

dx

x

3

3

dy

D

(x

2

y)dxdy

2

9dxdy

D

81 .

[分析] 在以上解法中，将第二类曲线积分利用格林公式转化为二重积分来考虑这个思路是常用的，错误在于将x2 y2利用L的方程x2 y2 9，用9来代换

x

2

y

2

。事实上二重积分中的积分变量应在L所围的积分区域上取值，而不能