第十一章 曲线、曲面积分(11)

[解四] 因为P y,Q x,

P y

1

(2,0)

Q x

, 利用全微分ydx xdy d(xy),

L

ydx xdy

(2,0)(0,0)

(0,0)

d(xy)

xy

0 0 0.

[方法小结] 比较以上四中解法，前面两种都属于直接计算法，后面两种是利用积分与路径无关、求原函数进行求解的。不难看出，对坐标的曲线积分，若满足

P y

Q x

，解法三、四是较简便的。当

P y

Q x

且积分曲线不封闭时，也可先用

“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但P,Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。

例14．设曲线积分 xy2dx y (x)dy与路径无关，其中 (x)具有连续偏导数，

c

(1,1)

且 (x) 0, 则

(0,0)

xydx y (x)dy -----------------------------。

2

（A）2; （B）

12

; （C）0; （D）1.

(1,1)

[分析] 要求出积分

(0,0)

xydx y (x)dy

2

, 首先应利用条件求出 (x).由曲线积分

与路径无关的充要条件可知:

x

(y (x))

y

(xy),y (x) 2xy,

2

于是

(x) 2x, (x) 2xdx x2 C.

由条件 (x) 0, 得 (x) x2.

再由条件积分与路径无关, 取积分路线y x,则得

(1,1)

(0,0)

xydx y (x)dy 2 xdx

(1,1)

2

1

3

12

因此选择（B）.

1

(这里若取折线(0,0) (1,0) (1,1),也易得 (0,0)

xydx y (x)dy

2

ydy

12

.)

[方法小结]分析要求的积分式子,易知必须利用条件先求出未知函数,因此有了以上的解法。从所求结果出发进行分析，往往是解决问题的一种有效途径。