第十一章 曲线、曲面积分(14)

[方法小结] 第二类曲面积分有多种计算方法，用曲面方程代入被积表达式化简积分是常用的手段。另外，投影法的应用也是灵活的（祥见解二和解三），可根据题目来选用某种投影法。 例16．计算曲线积分时针方向。

[分析一] 这个曲线积分若直接用参数化法求解是困难的，以下考虑用格林公式求解。

[解一]．解：由于x y 0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点 0,0 ，作逆时针方向的圆周l：

x rcos

ydx xdy

L

2x y

22

，其中L圆周 x 1 2 y2 2，L的方向为逆

，y rsin ，0 2

使l全部被L所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格林公式，有

D1

Q P

dxdy

y x P y

x y

2

2

2x

L

ydx xdy

2

y

2

ydx xdy

l

2x y

22

∵

x

2

y

2

2

Q x

，故上式为零

rsin rcos

2r

2

2

2

2

2

∴ydx xdy

L

2x y

1

22

2x

l

ydx xdy

2

yh2

2 0

2

2 0

d

。

[方法小结] 用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑曲线所包围的区域是不是满足格林公式的条件，本题利用挖去一个小圆，使考虑的区域满足条件。本题采用的挖去一个小圆的方法是常用的。

例17．计算 x2dS，其中S为圆柱面x2 y2 a2介于z 0和z h之间的部分。

S

[分析一]本题是对面积的曲面积分，在直角坐标下，它化为二重积分计算，有三个公式可考虑用于计算，其中之一为

s

f(x,y,z)dS

DXY

f(x,y,z(x,y)) zx zydxdy, (1)

22

这里z z(x,y)是曲面S的方程，Dxy是S在xoy平面上的投影区域，且z(x,y)是