第十一章 曲线、曲面积分(9)

x

L

2

ds

x

L

2

ds

x

L

2

ds,

考虑到大圆的周长为2 a,易得 于是

L

(x y

22

z)ds

2

ads 2 a,

L

23

L

xds

2

23

a.

3

[方法小结]对于

练掌握，但针对题目的特点，有时其它方法更简便，本题利用对称性求解更简便。 例12. 计算曲线积分

x a(t sint),

y a(1 cost),

L

ecosydy esinydx,其中L从O(0,0)沿摆线

xx

到A( a,2a).

x

x

[分析一] 由于被积函数在全平面上满足

(ecosy)

y

故ec(esiny)，os

x

x

dy

+exsinydx必为某个函数的全微分，以下用求原函数的方法求此积分值。 [解一] 因为

ecosydy

x

+exsinydx d(exsiny),

所以

L

ecosydy esinydx

xx

L

d(esiny) [esiny](0,

xx

( a,2a)

0)

e

a

sin2a.

ecosy

x

[分析二] 设P(x,y) exsiny,Q(x,y) excosy, 因

P y

Q x

,于是积分

L

ecosydy esinydx与路径无关，所以可任意选择一条路径进行积分。

xx

[解二] 根据以上分析，可选择折线OBA为路径进行积分，其中O,A为已知，B

为( a,0).

L

ecosydy esinydx ecosydy esinydx

x

x

x

x

x

x

xx

OBA

OB

ecosydy esinydx+ecosydy esinydx

BA

0

2a

e

a

cosydy e

a

sin2a.