第十一章 曲线、曲面积分(6)

[

2

(r

2

1

2

x y)dxdy]+[

2

2

2

(r

2

1

2

x y)dxdy] 0.

2

2

x y rx y r

例9. 试问

(x 2y)dx ydy

(x y)

2

是否某个函数的全微分？若是，求函数u(x,y).

y(x y)

2

[错解] 设P

x,y

x 2y(x y)

2

,Q ,

因为

P y

Q x

2y(x

2

y)

23

,

所以对一切

，原式是某个函数u(x,y)的全微分。取A(x0,y0)为起点，以折线ABC为积

分路径，其中B(x,0),C(x,y),于是 u(x,y)

(x,y)

(x 2y)dx ydy

(x y) P y

Q x

2

(x0,y0)

[分析]以上解法是在根据推得“一切x,y，原式是某个函数u(x,y)的全

微分”的基础上进行的，但是这里忽略了函数P、Q当x y 0时没有定义，因此，只有在x y 0时，

P y

Q x

才成立，因此不能任取一点为起点，所选择的

路径必须将直线x y 0中排除在外。 [正确解] 设P

x 2y(x y)

2

,Q

y(x y)

2

,

因为

P y

Q x

2y(x

2

y)

23

,

所以在直

线x y 0以外的区域内，原式是某个函数u(x,y)的全微分。取A(1,0)为起点，以折线ABC为积分路径，其中B(x,0),C(x,y),于是 u(x,y)

(x,y)

(x 2y)dx ydy

(x y)

2

(1,0)

x

x

1x

1

y

y(x y)y

.

lnx 1 [lnx y 2

xx y

]0

y

lnx y

x y

例10. 把对坐标的曲线积分 Pdx Qdy化为对弧长的曲线积分，其路径为沿上

L

半圆周(x 1)2 y2 1从点(2,0)到(0,0).

[错解] Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds,由方程(x 1)2 y2 1得

L

L

dydx

1 xy

,