第十一章 曲线、曲面积分(16)

[解一]把有向曲面 分成以下六个部分：

1：z c(0 x a,0 y b)的上侧； 2：z 0(0 x a,0 y b)的下侧； 3：x a(0 y b,0 z c)的前侧； 4：x 0(0 y b,0 z c)的后侧； 5：y b(0 x a,0 z c)的右侧； 6：y 0(0 y b,0 z c)的左侧。

其中 1、 2、 3、 4、 5、 6在yoz面上的投影为零，因此

xdydz

2

3

xdydz

2

4

xdydz

2

2

所以 x2dydz

Dyz

adydz

2

Dyz

0dydz abc

2

[分析二]由于 是长方体 的整个表面的外侧，易知是分片光滑的，又被积函数

P x,Q 0,R 0

2

在 上具有一阶连续的偏导数，于是用高斯公式求解。

P x

2x

[解二]因 为长方体Ω的整个表面的外侧，由高斯公式且P x2，

原式

2xdv

a0

dx dy 2xdz

bc

a2bc

[方法小结] 在考虑第二类曲面积分时，投影法和使用高斯公式求解都是常用的方法。但在用高斯公式时应验证积分区域和被积函数是否满足条件，否则很容易出错。

例19 证明：对于曲线积分的估计式为

L

Pdx Qdy LM,

P Q. 利用这个不定积分估计：

,

2

2

式中L为积分曲线段长度，M max

(x,y) L

IR

ydx xdy

2

2

2

x y R

(x

2

xy y)

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