Heron三角形与完全长方体(10)

全国中学生科技大赛参赛作品

心O在 ABC的外部. 作 ABC的外接圆O；过A,B,C分别作圆的三条切线，这三条切线必两两相交构成 MNK（如图2所示）

注意到 BOC 2 BAC,tanA tan BAC Q，

设r OA OB OC为圆O的半径，故r Q，

从而MC rtanA Q.同理NC Q，这样，MN MC CN Q.

由于 AOB 2 2C,tanC Q， 故 BK rtan( C) rtanC Q. 因此,MK KB MB rtanC rtanA Q,NK KB NC

rtanC rtanB Q,

所以三角形MNK各边都是有理数。

又 NMK 2 BAC 2A，所以sin NMK sin2A 2sinAcosA Q。 同理， MKN 2C , MNK 2B,sin MKN,sin MNK Q。

又在 MNK中， cos NMK cos2A cos2A sin2A Q，

同理cosK,cosN Q。

因此 MNK的面积S MNK MN MK sin NMK Q。

对 MNK的 NMK的角平分线MH, 有：

MHMNMNMN , sinNsin MHNsin(K ( /2 A))cos(K A)12

又cos(K A) cosKcosA sinKsinA Q，从而 NMK的角平分线MH为有理数. 类似地 MNK的另两条角平分线也为有理数。

综上可得， MNK的边长、面积和三条角平分线都是有理数.再把 MNK放缩有理数倍便可以得到一个边长为本原Heron数组，而面积为整数，角平分线为有理数的本原Heron三角形。

下面证明公式组成立：由于