Heron三角形与完全长方体(5)

全国中学生科技大赛参赛作品

引理2.2 若xi,yi Q(i 1,2,3)，则以不共线三点

(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为顶点的三角形的面积 Q。

证明： 由解析几何知识知：以(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为顶点的三角形的面积

1x22x3x1y11y21 y31

的绝对值.从而 Q。

引理2.3 在Heron三角形ABC中，角平分线la为有理数当且仅当sinAA,cos均为有理数。 22

证明：由正弦定理，有

lac 。 （2.1） sinBsin(B A/2)

如果sin,cosA

2A均为有理数，由于三角形ABC为Heron三角形，2

故有sinB,cosB Q，从而sin(B A/2) Q la Q。

反之，如果角平分线la为有理数，由于三角形ABC为Heron三角

形，故有sinB,cosB,tanA/2 Q，再由（2.1）式得到sin(B A/2) Q.于是，

AAcos(sinB cosBtan) Q, 22

不难得知sinAA,cos均为有理数。 22

定理2.1的证明：首先在[0, /4)内取n个互异的角 1, , n，使得：tan i Q(i 1, ,n).此时有8 i [0,2 )，则可以在单位圆上找相应