Heron三角形与完全长方体(13)

全国中学生科技大赛参赛作品

切线交于K，延长BA交C点的切线与M，过M作圆O的切线交过B点的切线于N，这样得到一个等腰三角形 MNK（如图3所示）

注意到 BOC 2 BAC,tanA tan BAC Q，

设r OA OB OC为圆O的半径，故r Q，

从而KB KC rtanA Q。同理MC Q，

这样，MK MC CK Q。所以三角形MNK各边都是有理数。 又 NKM 2 BAC 2A，所以sin NKM sin2A 2sinAcosA Q。 类似地sin MKN,sin MNK Q。

又在 MNK中，cos NKM cos2A cos2A sin2A Q，

同理cosM,cosN Q。

因此 MNK的面积S MNK MK KN sin NKM Q。

对 MNK的 NMK的角平分线MH，我们有：

MHMNMNMN , sinNsin MHNsin(K ( /2 A))cos(K A)12

又cos(K A) cosKcosA sinKsinA Q，从而 NMK的角平分线MH为有理数.类似地 MNK的另两条角平分线也为有理数。

综上可得， MNK的边长、面积和三条角平分线都是有理数。再把 MNK放缩有理数倍便可以得到一个边长为本原Heron数组，而面积为整数，角平分线为有理数的本原Heron三角形.定理中公式的计算和前面的两个定理类似，省略证明。

至此，我又实现了第二个愿望，证明了任意一个Heron三角形，都可以由它构造一个角平分线都为有理数的Heron三角形，而且给出了这个三角形的表示式。