Heron三角形与完全长方体(16)

全国中学生科技大赛参赛作品

a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、c2(a2 b2 c2)的本原Heron三角形的三条边都是平方数，则存在正整数x,y,z满足

x2 y2 c2

222 x z b y2 z2 a2

且x2y2 y2z2 z2x2为平方数。反之，如果存在正整数x,y,z满足 上述条件，则相似于三边分别为a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、c2(a2 b2 c2)的本原Heron三角形的三条边都是平方数且角平分线均为有理数。

证明：由于(a,b,c)为本原Heron数组，故a,b,c中恰有一个偶数和两个奇数且(a,b,c) 1。由对称性，我们不妨设b,c为奇数，a为偶数。 设相似于三边分别为a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、

则必有正整c2(a2 b2 c2)的本原Heron三角形的三条边都是平方数，

数 ,u,v,w满足：

a2(b2 c2 a2) u2

22222 b(a c b) v （4.1）

c2(a2 b2 c2) w2

其中 中没有平方因子，从而必有整数x,y,z使得

b2 c2 a2 x2

2222 a c b y.

a2 b2 c2 z2

即

2c2 (x2 y2) 222 2b (x z).

2a2 (y2 z2)

由于(a,b,c) 1，故 |2.比较（4.1）式的奇偶性，我们有 2。于是