Heron三角形与完全长方体(8)

全国中学生科技大赛参赛作品

MC rtanA,NC rtanB,sinA ab,sinB ， 2r2r

b2 c2 a2a2 c2 b2

,cosB cosA 。 2bc2ac

因此,MN r(tanA tanB)

2abc3

22.(b c a2)(a2 c2 b2)

同理,MK r(tanA tanC)

2ab3c 22,2222(b c a)(a b c)

KN r(tanC tanB) abcabc a2 b2 c2a2 c2 b2abcabc b2 c2 a2a2 b2 c2abcabc b2 c2 a2a2 c2 b2

2a3bc 222222.(a b c)(a c b)

由MN, MK, KN约去一个公共的有理数便得：

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b) k c2(a2 b2 c2)

证完。

例3.1 已知本原Heron数组(13,14,15)，求相应的本原Heron数组使得对应的Heron三角形的三条角平分线都是有理数。

解：易知由本原Heron数组(13,14,15)构成的三角形是锐角三角形，故由定理1，将a 13,b 14,c 15代人定理1 中的公式得到：

m 132(142 152 132) 23 32 72 11 2222222 n 14(13 15 14) 2 3 7 13，

k 152(132 142 152) 22 32 53 7

再将其本原化得到Heron数组(154,169,125).容易验证：半周长p 224，面积