Heron三角形与完全长方体(2)

全国中学生科技大赛参赛作品

摘要：Heron三角形的研究是时下的一个热点，不少问题的解决需要用到数论的知识。本文主要是深入研究角平分线是有理数的Heron三角形，得到的重要结论有：角平分线为有理数的Heron三角形有无数多个；对任意一组Heron数组(a,b,c)，都可以对应地构造一组角平分线为有理数的Heron数组(m,n,k)，使得

m f(a,b,c) n g(a,b,c) （*） k h(a,b,c)

本文还证明了：对任意一组角平分线为有理数的Heron数组(m',n',k') ，必存在Heron数组(a,b,c)，使得三角形(m',n',k')相似于由（*）给出的三角形(m,n,k)。而且，我们由（*）的表示，发现其与著名的完全平方三角形问题（PSTP）的联系，由此得到了与PSTP问题等价的几个不定方程组。然而，墨西哥数学家Luca证明了PSTP问题与完全长方体问题（PCP）的存在性是等价的，因此我们得到的几个不定方程组与PCP问题也是等价的。PSTP问题与PCP问题是数论中至今还未解决的两个难题，虽然我们没有最后解决这两个问题，但希望我们的研究能为解决PSTP问题和PCP问题提供一些帮助。

本文的推导由浅入深，我逐步实现了四个愿望！

关键词：Heron三角形、角平分线、三角形外接圆、海伦数组、平方数、PCP问题、PSTP问题。