Heron三角形与完全长方体(3)

全国中学生科技大赛参赛作品

一、引言

在课外数学阅读中，我经常看到介绍与研究Heron三角形的文章和书籍.在与数学老师的交流探讨中，我表示出对研究Heron三角形问题的兴趣，得到老师的鼓励与支持。 通过对Heron三角形问题的大量检索，发现Heron三角形的文章很多，可谓汗牛充栋。其中还涉及到著名的长期未解决的“中线问题”（Heron三角形的中线可否都能为有理数？）以及The Perfect Cuboid Problem (PCP): Is there a rectangular box with all edges, face diagonals, and the main diagonal integers? 和The Perfect Square Triangular Problem (PSTP): Is there a triangle whose sides are perfect squares and whose angle bisectors are integers?

其中文表述为：

完全长方体问题（PCP）：是否存在这样的长方体，使得它的各棱长，各面对角线及主对角线都是整数？

完全平方三角形问题（PSTP）： 是否存在三条边都是完全平方数且角平分线都是有理数的三角形？墨西哥数学家Luca证明了这两个问题的解的存在性是等价的。

类比于中线问题，是否存在角平分线都为有理数的Heron三角形？如果存在，是有限个还是无限个？能否找出所有角平分线为有理数的Heron三角形？征得数学老师的同意，我带着这个问题深入研究起来。

关注Heron三角形问题的人都熟悉如下结论, 本文直接引用：