Heron三角形与完全长方体(14)

全国中学生科技大赛参赛作品

定理3.1、3.2、3.3构造出了三类角平分线为有理数的Heron三角形. 那么，对所有角平分线为有理数的Heron三角形，是否都可以表示为这些形式？下面的定理3.4回答了这一问题。

定理3.4 如果数组(m,n,k)是一组Heron数组且相应的Heron三角形 MNK的三条角平分线都是有理数，那么数组(m,n,k)可以表示为：

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b)， （3.1）

k c2(a2 b2 c2)

其中 Q，(a,b,c)为一组锐角三角形的本原Heron数组。或者

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b)， （3.2）

k c2(c2 a2 b2)

(a,b,c)为一组钝角三角形的本原Heron数组且c2 a2 b2.其中 Q，

或者

m 2(a2 b2) n c2 (3.3)

2 k c

其中 Q，(a,b,c)为一组直角三角形的本原Heron数组，c为斜边长，a大于b。

证明：如果数组(m,n,k)是一组Heron数组且相应的Heron三角形 MNK的三条角平分线都是有理数， 则 MNK必有内切圆O.设圆O与 MNK的三个切点分别为A,B,C，当三角形ABC为锐角三角形，由定理3.1的证明，我们有：

NMK 2(

2 BAC) 2A，