Heron三角形与完全长方体(11)

全国中学生科技大赛参赛作品

MC rtanA,NC rtanB,sinA ab,sinB ， 2r2r

b2 c2 a2a2 c2 b2

,cosB cosA 。因此 2bc2ac

MN r(tanA tanB) abcabc b2 c2 a2a2 c2 b2

2abc3

22.(b c a2)(a2 c2 b2)

同理,MK r(tanA tanC)

2abc,(b2 c2 a2)(c2 a2 b2)3 abcabc b2 c2 a2a2 b2 c2

KN r(tanC tanB) abcabc a2 b2 c2a2 c2 b2

2a3bc 2.22222(c a b)(a c b)

由MN, MK, KN约去一个公共的有理数便得：

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b) k c2(c2 a2 b2)

证完。

例3.2 已知本原Heron数组(5,5,8)，求相应的本原Heron数组使得对应的Heron三角形的三条角平分线都是有理数。

解：易知由本原Heron数组(5,5,8)构成的三角形是钝角三角形，故由定理2，将a 5,b 5,c 8代人定理2 中的公式得到：

m 52(52 82 52) 26 52

222262 n 5(5 8 5) 2 5，

k 82(82 52 52) 27 7

再将其本原化得到Heron数组(25,25,14)。容易验证：半周长p 32，面积S 32 8 7 7 16 7。