Heron三角形与完全长方体(7)

全国中学生科技大赛参赛作品

于是，我实现了第一个愿望，得到了无限个角平分线为有理数的Heron三角形。

三、一般化有理角平分线的Heron三角形的构造

本节我给出了有理角平分线的Heron三角形的构造。

定理3.1 设(a,b,c)为一组锐角三角形的本原Heron数组，则由公式

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b) k c2(a2 b2 c2)

给出的数组(m,n,k)是一组Heron数组且相应的Heron三角形的三条角平分线都是有理数。

证明：设 ABC是三边分别为Heron数组(a,b,c)的本原Heron三角形，由假设条件知： ABC是锐角三角形，因此 ABC的外接圆的圆心O在 ABC的内部. 作 ABC的外接圆O；过A,B,C分别作圆的三条切线，这三条切线必两两相交构成 MNK（如图1所示）

NM ( 图1)

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注意到 BOC 2 BAC,tanA tan BAC Q，

设r OA OB OC为圆的半径，故r Q，

从而MC rtanA Q.同理NC Q，

这样，MN MC CN Q.同理MK Q,NK Q，

所以三角形MNK各边都是有理数。

又 NMK 2(

2 BAC) 2A，

所以 sin NMK sin2A 2sinAcosA Q。同理，

MKN 2C, MNK 2B,sin MKN,sin MNK Q。 又在 MNK中， cos NMK cos2A sin2A cos2A Q， 同理 cosK,cosN Q。

因此 MNK的面积S MNK 1MN MK sin NMK Q。 2

对 MNK的 NMK的角平分线dM，我们有：

dMMNMNMN , sinNsin(K M/2)sin(K ( /2 A))cos(K A)

又cos(K A) cosKcosA sinKsinA Q，从而 NMK的角平分线dM为有理数。

同理 MNK的另两条角平分线也为有理数。

综上可得， MNK的边长、面积和三条角平分线都是有理数,

再把 MNK放缩有理数倍便可以得到一个边长为本原Heron数组，而面积为整数，角平分线为有理数的本原Heron三角形。 下面证明公式组成立：由于