Heron三角形与完全长方体(18)

全国中学生科技大赛参赛作品

c2(c2 a2 b2)的本原Heron三角形的三条边都是平方数且角平分线均为有理数。

2000年，墨西哥数学家Luca证明了这两个问题的解的存在性是等价的，即有：

定理L：（[5] Luca 2000） PCP有解当且仅当PSTP有解。

于是得到：

定理4.3：PCP有解当且仅当存在正整数x,y,z满足

x2 y2 c2

222 x z b y2 z2 a2

且x2y2 y2z2 z2x2为平方数. 或者

x2 y2 c2

222 x z b y2 z2 a2

且x2y2 y2z2 z2x2为平方数。

证明：对所有角平分线为有理数的三角形，由定理3.4可知，它们无非形如(3.1) , (3.2) , (3.3) , 但 (3.3)显然不能成为相似于一个三边都为平方数的三角形，再由定理4.1, 4.2及定理L便得所证。

我的第四个愿望得以实现。

由定理4.3可知，PCP问题解的存在，完全等同于定理4.3中四个不定方程构成的方程组的解的存在，因此，我下一步希望能否通过讨论这四个不定方程解与解之间的关系，得出关于数论难题PCP问题的一些新结论。