Heron三角形与完全长方体(15)

全国中学生科技大赛参赛作品

MKN 2C, MNK 2B。

再由假设条件和引理2.3，我们有：sinA,sinB,sinC Q,r Q，从而BC,AC,AB Q且S ABC Q。再通过放缩三角形ABC，可使其成为本原Heron三角形，记其三边分别为a, b, c, 当三角形ABC为锐角三角形，由定理3.1，数组(m,n,k)可以表示为：

m a2(b2 c2 a2) 2222 n b(a c b)，

k c2(a2 b2 c2)

其中 Q，(a,b,c)为一组锐角三角形的本原Heron数组。当三角形ABC为钝角三角形，由定理3.2同样可得（3.2）式的证明。当三角形ABC为直角三角形，由定理3.3,同样可得(3.3)。

我又实现了第三个愿望，任何一个角平分线都为有理数的Heron三角形其表式无非是以上所述的三种形式之一。

由定理3.1, 3.2, 3.3 可知，利用任一个Heron三角形(不论是锐角三角形，钝角三角形还是直角三角形)，我们都可以构造出一个角平分线都为有理数的Heron三角形，而定理3.4又告诉我们，任一个角平分线都为有理数的Heron三角形都可表为形如(3.1)或(3.2)或(3.3)式。

四．与PSTP问题及PCP问题的联系

通过上述研究，角平分线为有理数的Heron三角形问题获得彻底解决！不过，细心的观察中我又发现一些与PSTP问题及PCP问题相联系的蛛丝马迹，我又得到了：

定理4.1 设(a,b,c)为本原Heron数组，如果相似于三边分别为