Heron三角形与完全长方体(4)

全国中学生科技大赛参赛作品

Heron三角形的每个角的正弦，余弦，正切及半角的正切都为有理数；内切圆，外接圆的半径为有理数；本原Heron三角形(三边长互素的Heron三角形)的三条边长必为两奇一偶。

二、我对诺尔曼-埃尔德什定理的新发现

我首先希望找到一些角平分线为有理数的Heron三角形.在阅读了杨世明老师的文[2]和吴波老师的文[3]后，我进行了大量的演算推理，发现他们所得到的Heron三角形的角平分线都是有理数。

文[2]中杨世明老师用拟合的方法给出了诺尔曼-埃尔德什定理(即：平面上存在不共线的n个点，其中任两个点间的距离都是整数)的一个初等证明。但其中有n-1个点都在一条直线上。文[3]中吴波老师得到了一个有趣的结论。本文将在文[3]的基础上，用构造性方法证明：

定理2.1 存在这样的圆：它上面有这样的n(n 3)个点，以其中任三个点为顶点的三角形都是海伦三角形，并且以任三个点为顶点的三角形的角平分线也是整数。

证明定理2.1之前,先给出几个引理：

引理2.1 若 k

条件是tan Q。 证明：当 k (k为整数）时，tan 有意义。 2

2tan 1 tan2 Q。(1)充分性：若tan Q，知sin2 ， cos2 221 tan 1 tan 2(k为整数），则sin2 ,cos2 Q的充要

(2)必要性：若sin2 ,cos2 Q，由tan

1 cos2 ，知tan Q。 sin2