Heron三角形与完全长方体(17)

全国中学生科技大赛参赛作品

b2 c2 a2 2x2

2222 a c b 2y.

a2 b2 c2 2z2

即

x2 y2 c2

222 x z b.

y2 z2 a2

由于三边分别为a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、c2(a2 b2 c2)的三角形为Heron三角形，对此三角形我们有，半周长p 2(x2y2 y2z2 z2x2)，面积S 4x2y2z2x2y2 y2z2 z2x2.从而x2y2 y2z2 z2x2为平方数。

x2 y2 c2

反之，如果存在正整数x,y,z满足 x2 z2 b2

y2 z2 a2

且x2y2 y2z2 z2x2为平方数.容易验证三边分别为a2x2、b2y2、c2z2的三角形为Heron三角形，三条边都是平方数且角平分线均为有理数。故定理成立。

完全类似地，不难证明：

定理4.2 设(a,b,c)为本原Heron数组且满足c2 a2 b2，若相似于三边分别为a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、c2(c2 a2 b2)的本原Heron三角形的三条边都是平方数，则存在正整数x,y,z满足

x2 y2 c2

222 x z b y2 z2 a2

222222且xy yz zx为平方数。反之，如果存在正整数x,y,z满足 上述条件，则相似于三边分别为a2(b2 c2 a2)、b2(a2 c2 b2)、