2001-2007年大学数学竞赛试题(13)

大学数学建模比赛

证明：本题即证当 0 < x < 1时，(1 x)e (1 x) 0，命：

2x

f(x) (1 x)e2x (1 x),x [0,1)，于是有

f (x) e2x 2(1 x)e2x 1 (1 2x)e2x 1， f (x) 2e2x 2(1 2x)e2x 4xe2x 0，

即f (x)在区间(0,1)内单调减少，而f (0) 0，故当 x > 0时f (x) 0，因而f(x)在

2x

区间(0,1)内单调减少，即f(x) f(0) 0，于是有(1 x)e (1 x) 0，即

1 x

e 2x,x (0,1)。 1 x

十二、设C是取正向的圆周(x 1) (y 1) 1，f (x)是正的连续函数，证明：

2

2

（本题8分） 证明：由格林公式有

C

xf(y)dy

y

dx 2 f(x)

C

xf(y)dy

y1

dx f(y) dxdy， f(x)f(x) D

其中D是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所围成的区域。而

D

f(x)dxdy dx

02

2

1 1 (x 1)2

1 1 (x 1)f(x)dy 2 f(x) (x 1)2dx，

2

f(y)dxdy dy

D

1 (y 1)2

2

1 (y 1)

f(y)dx 2 f(y) (y 1)2dy，

2

即 所

f(x)dxdy f(y)dxdy，

D

D

以

C

xf(y)dy

y1 1

dx f(y) dxdy f(x) dxdy 2d 2 。 f(x)f(x) f(x) D D D

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）