2001-2007年大学数学竞赛试题(4)

大学数学建模比赛

解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为

S2 p(p x)(p y)(p z)

则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。 设

f(x,y) S2 p(p x)(p y)(x y p)，

问题转化成求f(x,y)在

D (x,y)0 x p,0 y p,p x y 2p

上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y > z = 2p－（x + y），所以有x + y > p。

由

fx' p(p y)(2p 2x y) 0

，

f' p(p x)(2p x 2y) 0 y

求出f(x,y)在D内的唯一驻点M

2p2p

, 。因f(x,y)在有界闭区域D上连续，故33

f(x,y)在D上有最大值。注意到f(x,y)在D的边界上的值为0，而在D内的值大于0。

故f(x,y)在D内取得它在D上的最大值。由于f(x,y)在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有

4

2p2p p

maxf(x,y) f ,， (x,y) D3327

此时x = y = z =

2p

，即三角形为等边三角形。 3

1214

y

yx

1

y

yx

七、计算I

dy12

edx 1dy edx。（本题8分）

2

y

解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

131

I dy1edx 1dy edx 1dx 2edy 1x(e ex)dx e e。

yx822222

1

1

x

1

214

yx

yx

yx

八、计算曲面积分I

x

3

az2dydz y3 ax2dzdx z3 ay2dxdy，其

中Σ为上半球面z

a2 x2 y2的上侧。（本题7分）

解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 ≤ a2 )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，