2001-2007年大学数学竞赛试题(9)

大学数学建模比赛

g (x) x(u x)f(u)du

2

x

( 1) uf(u)du 2x uf(u)du x

0 0

2

x x

2

x

f(u)du

x

x x

2 xf( x) 2 uf(u)du 2x( x)f( x)( 1) 2x f(u)du x2f( x)( 1) 00

2 uf(u)du 2x

x x

f(u)du

五、设方程x ax b 0，

⑴ 当常数a ，b满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）

解：设y x ax b，－∞<x<+∞，求导得

4

4

y 4x3 a

命y 0得唯一驻点x 且最小值为

aa2

，又y 12x 0，故当x 时，y有最小值。44

4

3

13

y

x 3 a

4

a a

a b 4 4

13

又当x →－∞时，y →＋∞；x →＋∞时，y →＋∞，因此，

⑴ 当且仅当

43

a a

a b 0时，方程有唯一实根。 4 4

1

3

43

⑵ 当

a a

a b 0时，方程无实根。 4 4

六、在曲线y = x2（x ≥ 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为

1

，试求： 12

⑴ A点的坐标；

⑵ 过切点A的切线方程；

⑶ 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分） 解：⑴设A点坐标为 (x0，y0)，则y0 = x02，于是可知切线方程

y x0

y ― x02 = 2x0（x ― x0）即x 。

2x0

由题设，有

2