2001-2007年大学数学竞赛试题(2)

大学数学建模比赛

3. 设函数f(x)对任意x都满足f(x 1) af(x)，且f'(0) b，其中a、b均为非零常数，则f(x)在x = 1处（ D ）

（A）不可导； （B）可导，且f (1) a； （C）可导，且f (1) b； （D）可导，且f (1) ab。 4. 设f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t

st0

f(tx)dx，其中s > 0，t > 0，则I

的值（ C ）

（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。

2u

5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 0及

x y

2u 2u

2 0，则（ B ）。 2

x y

（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。

三、求极限lim

x 0

cosx e

。（本题6分） 2

x[2x ln(1 2x)]

x22

x2x4

o(x4)； 解：cosx 1

2!4!

e

x22

x21 x2 x2x444

1 o(x) 1 o(x)； 22! 228

2

1

ln(1 2x) 2x ( 2x)2 o(x2) 2x 2x2 o(x2)；

2

x2x4 x2x44

1 o(x) 1 o(x4)

2!4!28

x2x 2x 2x o(x)

2

由此得到：

x2

2

lim

x 0

cosx e

lim2

x[2x ln(1 2x)]x 0

22