2001-2007年大学数学竞赛试题(14)

大学数学建模比赛

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设对一切实数x和y,恒有f(x y) f(x) f(y)，且知f(2) 1，则f

1

2

1

。 2

sinx

ln(1 t)dt 02

,2．设f(x) 2xx2

e 2e 1 a,

z

2

2

x 0; 在x = 0处连续，则a = 1 。

2

x 0,

3．设f(x,y,z) eyz，其中z z(x,y)是由方程x y z xyz 0所确定的隐函数，则fy (0,1, 1)

2

。 e

4．

dx

。 4(1 x2)2

x2y2z2 1x 1y 1z 1

5．曲线 4在点M (1,1,1)处的切线方程为 （或 44

51 3 x 2y z 0

x y 2z 4 0

）。

x 2y z 0

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 当x 0时，下列无穷小量

① tanx sinx； ② 2x 3x； ③ x

4 41

cosx sinx； ④ ex x 1， 33

从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）

（A） ①②③④； （B） ③①②④； （C） ④③②①； （D） ④②①③。

x3arccotx,

2． 设f(x)

0,

（ B ）

x 0x 0

，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为