2001-2007年大学数学竞赛试题(20)

大学数学建模比赛

由于 (0,1)，所以 0,1 0，即f ( ) 0,f ( ) 0。从而

ababaC(1 ) b (1 C)b C(a b a )

，

1 f ( )f ( ) (1 ) (1 )C1 C

ab，则1 ，并且 ,1 (0,1)，代入得 a ba b

ab

aba b a b。

ab f( )f( )

a ba b

11 1 t2

十一、设F(x) (1 e) (x t)edt，试证明在区间[ 1,1]上F(x)有且仅

12

注意到：若取 有两个实根。（本题7分）

证明：

x1221

F(x) (1 e 1) (x t)e tdt (t x)e tdt

1x2

xx1122221

(1 e 1) x e tdt te tdt te tdt x te tdt

1 1xx2

0x0x2222112x1 t21

(1 e 1) x e tdt x e tdt e t e x e tdt x e tdt

1010 12x22

00x13 1 x2 t2 t2 t2

e e x edt x edt 2x edt

11022

01x13 1 x2 t2 t2 t2

e e x edt x edt 2x edt

10022

x213 1 x2

e e 2x e tdt

022

由于e

x2

是偶函数，所以

x

e tdt是奇函数，2x e tdt是偶函数，于是知F(x)为

2

x

2

偶函数。

又注意到：

13 1e 3 e 0;222e

112111135 t t

F(1) 0 2 0edt 2 0edt

22e 22e 22e F(0)

（当x > 0时）。 F (x) 2xe x 2xe x 2 e tdt 2 e tdt 0，

2

2

x

2

x

2

因此，函数F(x)在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又F(x)为偶函数，所以F(x)

在闭区间[ 1,0]上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数F(x)在闭区间[ 1,1]上有且仅