2001-2007年大学数学竞赛试题(19)

大学数学建模比赛

(x)上任意取一点(x,f(x))(x 0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作 ，求

lim

x 0

xf( )

。（本题8分） f(x)

解： 过点(x,f(x))的曲线y = f (x)的切线方程为：Y f(x) f (x)(X x)， 注意到：由于f (0) 0,f (0) 0，所以当x 0时，f (x) 0。因此，此直线在x

轴上的截距为

x

f(x)f(x)

。且lim limx lim 0。

x 0x 0x 0f (x)f (x)

利用泰勒公式将f(x)在x0 0点处展开，得到

f(x) f(0) f (0)x

类似可得：f( )

11

f ( 1)x2 f ( 1)x2,22

。 1在0与x之间；

1

f ( 2) 2,2

2在0与 之间。代入得

f(x)12x xf ( 2)

f ( 2)xf( ) xf (x) f(x)f (x)lim lim lim lim lim lim

x 0 f(x)x 0x 0f x 01 ( 1)x 0xx 0xxf (x)2

f ( 1)x2

xf (x)f (x)f (0)1

lim lim x 0f (x) xf (x)x 0f(x)f (0) f (0)2

f (x)x

十、设函数f (x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得

ab

a b。 f ( )f ( )

（本题7分）

证明：取数 (0,1)，由连续函数介值定理知，存在C (0,1)，使得f(C) 。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

f(C) f(0)

,

C 0Cf(1) f(C)1

f ( )

1 C1 Cf ( )

0 C,

显然 。

C 1.