2001-2007年大学数学竞赛试题(17)

大学数学建模比赛

x 2 2

F(x) lnx lnt f(t)dt的最小值点。（本题6分）

1

t x

解：

F (x)

x 2 d 2 x

lnxf(t)dt lntf(t)dt 1 tdx 1 x

21 x 2 2 21 x

2 f(t)dt lnx f(x) lnx f(x) 2 f(t)dt

x 1x 1 x x x x

注意到：在[1, )上f(x) 0，因此，当x > 1时，命：F (x) 0，得

x

1

f(t)dt 0。

21

0，解此方程得到唯一驻点 x = 2。 2

xx

又，当1 x 2时，F (x) 0；当x > 2时，F (x) 0，所以F(x)在点x = 2处取得极小值F(2)，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是F(x)的最小值点，最小值为

F(2)。

六、设y (x) arctan(x 1)，且y(0) 0，求解：

1112

y(x)dx xy(x) xy(x)dx y(1) xarctan(x 1)dx 0 0

0 01

2

（本题6分） y(x)dx。

1

y(1) (x 1)arctan(x 1)2dx arctan(x 1)2dx

11

y(1) (x 1)arctan(x 1)dx y(1) y(0) (x 1)arctan(x 1)2dx

2

命x 1 t

命u t111022

tarctantdt arctantd(t) arctanudu 1 1022

111u11 1 121 uarctanu du ln(1 u) ln22000221 u24484

2

2

11

2z 2z1 z 2z u x ay

0化为 0，试确定七、设变换 ，把方程2 y2 2 y u v x y v x 2y

a 。（本题7分）

解： 计算一、二阶偏导数