2001-2007年大学数学竞赛试题(18)

大学数学建模比赛

z z z , x u v z za z11 a z z , y u2y vyy 2 u v

2z 2z 2z 2z

2 ,

u v v2 x2 u2

32222

2z1 2 a z z 1 za za z1 , y 222 2 yy u4y u vy vy 2 u v

2z 2z1 z

0，得到 代入方程2 y2 2 y x y 2z 2z1 z a2

y2 1 2 2 y 4 x y

2z 2z

u2 2 a u v 0，

a2

0 1

于是有 ，所以a 2。 4

2 a 0

八、设函数Q(x,y)在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分

与路径无关，并且对任意的

(1,t)

2xydx Q(x,y)dy

L

t恒有

(t,1)

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)

（本题7分） 2xydx Q(x,y)dy，求Q(x,y)。

解：由曲线积分与路径无关知

Q

(2xy) 2x， x y

所以Q(x,y) x C(y)，其中C(y)为待定函数。又

2

(t,1)

(0,0)(1,t)

2xydx Q(x,y)dy t C(y)dy t C(y)dy；

1

2

2

1

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy 1 C(y) dy t C(y)dy。

tt

根据题设，有

t2 C(y)dy t C(y)dy，

1t

上式两边对t求导，得到

2t 1 C(t)，于是知C(t) 2t 1，即C(y) 2y 1，故Q(x,y) x2 2y 1。

九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且f(0) 0,f (0) 0,f (0) 0。在曲线y = f