2001-2007年大学数学竞赛试题(15)

大学数学建模比赛

（A） 1阶； （B） 2阶； （C） 3阶； （D）4阶。

f (x)3． 设函数y f(x)在 x = 1处有连续的导函数，又lim 2，则x = 1是

x 1x 1

（ B ）

（A）曲线y f(x)拐点的横坐标； （B）函数y f(x)的极小值点； （C）函数y f(x)的极大值点； （D）以上答案均不正确。 4． 设函数f，g在区间[a，b]上连续，且g(x) f(x) m（m为常数），则曲线

y g(x),y f(x),x a和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体

积为（ A ） (A)

b

[2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

； (B)

[2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx；

a

(C)

b

[m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

； (D)

[m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx。

a

5． 设S:x y z a(z 0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有（ C ） （A）（C）

2222

xds 4 xds；

S

S1

S

S1

（B）

yds 4 xds；

S

S1

S

S1

zds 4 xds； （D） xyzds 4 xyzds。

2

xtdt1

lim c。

b2x 0sinx ax t

三、a，b，c为何值时，下式成立

（本题6分）

解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到

2xtdt1x2

lim lim，

022x 0sinx ax x 0

t(cosx a) x

由上式可知：当x 0时，若a 1，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则

2

xtdt1x2

lim lim 2。

022x 0sinx x x 0

t(cosx 1) x

综上所述，得到如下结论：a 1，b = 0，c = 0； 或a = 1，b = 0，c = －2。