2001-2007年大学数学竞赛试题(5)

大学数学建模比赛

I

S

x

3

az2dydz y3 ax2dzdx z3 ay2dxdy

3 x

S 2 0

x3 az2dydz y3 ax2dzdx z3 ay2dxdy

2

y2 x2dxdydz

20

a

4

2

x2 y2 a2

ay

2

2

dxdy

a

3 d sin d rdr asin d r3dr

6129 a5 a5 a5

5420

九、已知a>0，x1>0，定义

xn 1

1 a 3xn 3

4 xn

n 1,2,3,

求证：limxn存在，并求其值。（本题8分）

n

解：第一步：证明数列 xn 的极限存在：

注意到：当n ≥ 2时，xn 1

1 xn xn xn a ≥xnxnxna a，因此

33

4 xn xn

xn 11 a 1 a 3 4 数列 xn 有下界。又≤ 3 1，即xn+1≤xn ，所以 xn 单调递

xn4 a xn 4

减，由极限存在准则知，数列 xn 有极限。

第二步：求数列 xn 的极限

设：limxn A，则有A≥a 0。

n

由limxn 1

n

1a lim 3xn 3 ，

4n xn

有A

1 a limx a。 A a3A ，解得（舍掉负根），即 n3n 4 A

证明：设f(x) 1 xln x

十、证明不等式1 xlnx x

x，x ， 。（本题7分） x x，则

2

2

2

2