2001-2007年大学数学竞赛试题(21)

大学数学建模比赛

有两个实根。

十二、设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：

1xfx yfy

f(0,0) lim dxdy

02 x2 y2

D

其中：D为圆域 x y 1。（本题8分）

证明：取极坐标系，由

2

2

2

x rcos

，得到

y rsin

f f x f y f f cos sin ， r x r y r x y

将上式两端同乘r，得到

r

f f f

rcos rsin xfx yfy 。 r x y

于是有

I

D

xfx yfy x2 y2

2 0

dxdy

D

2 1 f2 11 f

rrdrd d dr f(rcos ,rsin )d 2 0 0 rr r2

f(cos ,sin )d

2 0

f( cos , sin )d 0

2

f( cos , sin )d

f( cos , sin )d

由积分中值定理，有

I 2 f( cos 1, sin 1)，其中0 1 2 。

1xfx yfy

dxdy lim f( cos 1, sin 1) f(0,0)。 故lim

02 x2 y2 0

D

2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设函数f(x) ln

1 x x 1

，则函数f f 的定义域为 1 x 2 。 1 x 2 x