相似三角形的判定及有关性质(12)

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC. ∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD. ∴DE∶BD＝AE∶CD. ∴DE·DC＝AE·BD.

10．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，111AE＝3，BD＝3，点F在BC上，且CF＝3.求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC.

证明 设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF2a. CE2a2CF2a2(1)CB＝＝3，CA3a＝3.

2a

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝2a，

AEa2AD2a2故EF2BF2

2a22aAEAD

∴EFFB∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC.